Элемент. математика Примеры

$a^{3} - 3 a^{2} + 4$

Этап 1

Разложим $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Этап 1.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Этап 1.3.5

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 4 + 4$

Этап 1.3.6

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $a + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 4}{a + 1}$

Этап 1.5

Разделим $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ на $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$a$

$1$

$a^{3}$

$3 a^{2}$

$0 a$

$4$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $a^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $a$ .

					$a^{2}$
	$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			+	$a^{3}$	+	$a^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $a^{3} + a^{2}$ .

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$a^{2}$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 a^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $a$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					-	$4 a^{2}$	-	$4 a$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 a^{2} - 4 a$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$a^{2}$	-	$4 a$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 a$ на член с максимальной степенью в делителе $a$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							+	$4 a$	+	$4$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 a + 4$ .

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							-	$4 a$	-	$4$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$a^{2}$	-	$4 a$	+	$4$
$a$	+	$1$		$a^{3}$	-	$3 a^{2}$	+	$0 a$	+	$4$
			-	$a^{3}$	-	$a^{2}$
					-	$4 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$4 a^{2}$	+	$4 a$
							+	$4 a$	+	$4$
							-	$4 a$	-	$4$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$a^{2} - 4 a + 4$

Этап 1.6

Запишем $a^{3} - 3 a^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$(a + 1) (a^{2} - 4 a + 4)$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(a + 1) (a^{2} - 4 a + 2^{2})$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$(a + 1) (a^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2})$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 2$ .

$(a + 1) {(a - 2)}^{2}$